已知函数f(x)=-13x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a处取得极值．（Ⅰ）求ba；（Ⅱ）设函数g（x）=2x3-3af′（x）-6a3，如果g（x）在开 - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=-

x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a处取得极值．
（Ⅰ）求

；
（Ⅱ）设函数g（x）=2x³-3af′（x）-6a³，如果g（x）在开区间（0，1）上存在极小值，求实数a的取值范围．

答案

解（1）f"（x）=-x²+2bx-3a²
由题意知f"（a）=-a²+2ba-3a²=0则b=2a
∴

=2
（2）由已知可得g（x）=2x³+3ax²-12a²x+3a³
则g"（x）=6x²+6ax-12a²=6（x-a）（x+2a）
令g"（x）=0，得x=a或x=-2a
若a＞0，当x＜-2a或x＞a时，g"（x）＞0；
当-2a＜x＜a时，g"（x）＜0
所以当x=a时，g（x）有极小值，
∴0＜a＜1
若a＜0，当x＜a或x＞-2a时，g"（x）＞0；
当a＜x＜-2a时，g"（x）＜0
所以当x=-2a时，g（x）有极小值，
∴0＜-2a＜1即-

＜a＜0
所以当-

＜a＜0或0＜a＜1时，g（x）在开区间（0，1）上存在极小值．

核心考点

试题【已知函数f(x)=-13x3+bx2-3a2x(a≠0)在x=a处取得极值．（Ⅰ）求ba；（Ⅱ）设函数g（x）=2x3-3af′（x）-6a3，如果g（x）在开】；主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知f(x)=2lnx+

x+1

(x＞0)．
（1）若a=-8，判断f（x）在定义域上的单调性；
（2）若f（x）在定义域上有两个极值点x₁，x₂（x₁≠x₂），求证：f(x1)+f(x2)≥

f(x)+2

-2．

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函数y=x³-x²-x的单调增区间为______．

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已知函数f（x）=（x²-a）e^x，其中a≥3，e为自然对数的底数．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）求函数f（x）在区间[0，1]上的最大值．

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己知f（x）=Inx-ax²-bx．
（Ⅰ）若a=-1，函数f（x）在其定义域内是增函数，求b的取值范围；
（Ⅱ）当a=1，b=-1时，证明函数f（x）只有一个零点；
（Ⅲ）f（x）的图象与x轴交于A（x₁，0），B（x₂，0），两点，AB中点为C（x₀，0），求证：f′（x₀）＜0．

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已知函数f（x）=x³+3ax-1的导函数为f^′（x），g（x）=f^′（x）-ax-3．
（1）当a=-2时，求函数f（x）的单调区间；
（2）若对满足-1≤a≤1的一切a的值，都有g（x）＜0，求实数x的取值范围；
（3）若x•g^′（x）+lnx＞0对一切x≥2恒成立，求实数a的取值范围．

题型：汕头模拟难度：| 查看答案

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