题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;
(Ⅱ)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点;
(Ⅲ)f(x)的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0),两点,AB中点为C(x0,0),求证:f′(x0)<0.
答案
f(x)在(0,+∞)上递增,∴f′(x)=
1 |
x |
即b≤
1 |
x |
1 |
x |
∵x>0,
1 |
x |
2 |
| ||
2 |
∴b≤2
2 |
∴b的取值范围为 (-∞,2
2 |
(Ⅱ)当a=1,b=-1时,f(x)=lnx-x2+x,其定义域是(0,+∞)
∴f′(x)=
1 |
x |
(x-1)(2x+1) |
x |
∴0<x<1时,f′(x)>0当x>1时,f′(x)<0
∴函数f(x)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减
∴当x=1时,函数f(x)取得最大值,其值为f(1)=ln1-1+1=0
当x≠1时,f(x)<f(1)=0即
∴函数f(x)只有一个零点 …(8分)
(Ⅲ)由已知得
|
ln
x1 |
x2 |
由f′(x)=
1 |
x |
f′(x0)=
1 |
x0 |
2 |
x1+x2 |
2 |
x1+x2 |
1 |
x1-x2 |
x1 |
x2 |
=
1 |
x1-x2 |
2(x1- x2) |
x1+x2 |
x1 |
x2 |
1 |
x1-x2 |
2(
| ||
|
x1 |
x2 |
令t=
x1 |
x2 |
2t-2 |
t+1 |
∴∅′(t)=-
(t-1)2 |
t(t+1)2 |
∴∅(t)在(0,1)上递减,∴∅(t)>∅(1)=0
x1<x2,f′(x0)<0(12分)
核心考点
试题【己知f(x)=Inx-ax2-bx.(Ⅰ)若a=-1,函数f(x)在其定义域内是增函数,求b的取值范围;(Ⅱ)当a=1,b=-1时,证明函数f(x)只有一个零点】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;
(2)若对满足-1≤a≤1的一切a的值,都有g(x)<0,求实数x的取值范围;
(3)若x•g′(x)+lnx>0对一切x≥2恒成立,求实数a的取值范围.
1 |
2 |
37 |
6 |
(1)证明sinθ=1;
(2)求f(x)的解析式;
(3)若对于任意的x1,x2∈[m,m+3](m≥0),不等式|f(x1)-f(x2)|≤
45 |
2 |
1-x |
1+x |
(1)若f(x)在x=1处取得极值,求a的值;
(2)若f(x)的最小值为1,求a的取值范围.
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