题目

题型：不详难度：来源：

若函数f（x）=（x²-2ax）e^x在[-1，1]上为单调函数，求实数a的取值范围．

答案

∵x∈R，f"（x）=e^x[x²+2（1-a）x-2a]
1）若f（x）在[-1，1]递减，则f"（x）≤0在[-1，1]恒成立，
∴只需x²+2（1-a）x-2a≤0在[-1，1]恒成立，
即2a（x+1）≥x²+2x在[-1，1]恒成立，
（1）x=-1时（1）式成立；x∈（-1，1]时，需满足a≥

x2+2x

2(x+1)

，令g（x）=

x2+2x

2(x+1)

，
则g′(x)=

x2+2x+2

2(x+1)2

＞0在x∈（-1，1]恒成立，
∴g（x）在（-1，1]递增，∴g(x)max=g(1)=

3

4

，∴a≥

3

4

；
2）若f（x）在[-1，1]递增，则f"（x）≥0在[-1，1]恒成立，
但f"（-1）=-1，∴f（x）在[-1，1]不递增；
综上a≥

3

4

．