题目
题型:不详难度:来源:
(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;
(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.
答案
1 |
x+m |
1 |
m |
所以函数f(x)=ex-ln(x+1),其定义域为(-1,+∞).
∵f′(x)=ex-
1 |
x+1 |
ex(x+1)-1 |
x+1 |
设g(x)=ex(x+1)-1,则g′(x)=ex(x+1)+ex>0,所以g(x)在(-1,+∞)上为增函数,
又∵g(0)=0,所以当x>0时,g(x)>0,即f′(x)>0;当-1<x<0时,g(x)<0,f′(x)<0.
所以f(x)在(-1,0)上为减函数;在(0,+∞)上为增函数;
(Ⅱ)证明:当m≤2,x∈(-m,+∞)时,ln(x+m)≤ln(x+2),故只需证明当m=2时f(x)>0.
当m=2时,函数f′(x)=ex-
1 |
x+2 |
故f′(x)=0在(-2,+∞)上有唯一实数根x0,且x0∈(-1,0).
当x∈(-2,x0)时,f′(x)<0,当x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0,
从而当x=x0时,f(x)取得最小值.
由f′(x0)=0,得ex0=
1 |
x0+2 |
故f(x)≥f(x0)=
1 |
x0+2 |
(x0+1)2 |
x0+2 |
综上,当m≤2时,f(x)>0.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-ln(x+m)(Ι)设x=0是f(x)的极值点,求m,并讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)当m≤2时,证明f(x)>0.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
3 |
1 |
3 |
(1)求函数y=f(x)的单调区间;
(2)若对任意的x1,x2∈[-1,1],都有|f′(x1)-f′(x2)|≤4,求实数m的取值范围;
(3)求函数f(x)的零点个数.
a |
x |
(Ⅰ)讨论函数h(x)=
f(x) |
x |
(Ⅱ)如果存在x1,x2∈[0,2],使得g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足上述条件的最大整数M;
(Ⅲ)如果对任意的s,t∈[
1 |
2 |
(Ⅰ)当a=-
1 |
4 |
(Ⅱ)若函数f(x)在区间[2,4]上是减函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)当x∈[1,+∞)时,函数y=f(x)图象上的点都在
|
(I)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(II)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
(I) 当a=1时,求f(x)的单调区间;
(II) 若f(x)在(0,e]上的最大值为1,求a的值.
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