题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最值;
(Ⅱ)若m>0,n>0,a>0,证明:f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n)ln2.
答案
当a>0时,令f"(x)≥0,即lnx≥-1=lne-1.
∴x≥e-1=
1 |
e |
1 |
e |
同理,令f"(x)≤0,可得x∈(0,
1 |
e |
∴f(x)单调递增区间为[
1 |
e |
1 |
e |
由此可知y=f(x)min=f(
1 |
e |
a |
e |
当a<0时,令f"(x)≥0,即lnx≤-1=lne-1.∴x≤e-1=
1 |
e |
1 |
e |
同理,令f"(x)≤0可得x∈[
1 |
e |
∴f(x)单调递增区间为(0,
1 |
e |
1 |
e |
由此可知y=f(x)max=f(
1 |
e |
a |
e |
(Ⅱ)不妨设m≥n>0,令n=x,
记g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln
m+x |
2 |
g′(x)=alnx+a-aln
m+x |
2 |
2x |
m+x |
∵m+x≥2x∴
2x |
m+x |
x-m |
m+x |
∴g"(x)≤0,∴g(x)是减函数,
∵m≥x>0,∴g(x)≥g(m)=0∴g(x)=amlnm+axlnx-a(m+x)ln
m+x |
2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=axlnx(a≠0).(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间和最值;(Ⅱ)若m>0,n>0,a>0,证明:f(m)+f(n)≥f(m+n)-a(m+n】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)若f(x)在区间(0,1]上是增函数,求a范围;
(2)求f(x)在区间(0,1]上的最大值.
a |
x |
(1)讨论函数f(x)在(0,e]上的单调性;
(2)是否存在实数x0∈(0,+∞),使曲线y=g(x)在点x=x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由.
(3)若实数m,n满足m>0,n>0,求证:nnem≥mnen.
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m的值;
(Ⅲ) 求证:g(x)≥-7.
(1)求函数y=f(x)的解析式;
(2)求函数y=f(x)的单调区间.
(3)当x∈[-3,3]时,求y=f(x)的最值域.
A.(2,4) | B.(0,2) | C.(2,3) | D.(0,1) |
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