题目
题型:不详难度:来源:
b |
x |
a |
e |
(1)求a与b的关系;
(2)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围;
(3)证明:
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
n2 |
2n2-n-1 |
4(n+1) |
(提示:需要时可利用恒等式:lnx≤x-1)
答案
b |
x |
a |
e |
b |
e |
a |
e |
∴(a-b)(e+
1 |
e |
(2)由(1)知:f(x)=ax-
b |
x |
a |
x2 |
2 |
x |
ax2-2x+a |
x2 |
令h(x)=ax2-2x+a.要使g(x)在(0,+∞)为增函数,只需h(x)在(0,+∞)满足:h(x)≥0恒成立.
即ax2-2x+a≥0,a≥
2x |
x2+1 |
又∵0<
2x |
x2+1 |
2 | ||
x+
|
(3)证明:先证:lnx-x+1≤0 (x>0),设K(x)=lnx-x+1,则K′(x)=
1 |
x |
1-x |
x |
当x∈(0,1)时,k′(x)>0,∴k(x)为单调递增函数;
当x∈(1,∞)时,k′(x)<0,∴k(x)为单调递减函数;
∴x=1为k(x)的极大值点,∴k(x)≤k(1)=0. 即lnx-x+1≤0,∴lnx≤x-1.
由上知 lnx≤x-1,又x>0,∴
lnx |
x |
1 |
x |
∵n∈N+,n≥2,令x=n2,得
lnn2 |
n2 |
1 |
n2 |
lnn |
n2 |
1 |
2 |
1 |
n2 |
∴
ln2 |
22 |
ln3 |
32 |
lnn |
n2 |
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
=
1 |
2 |
1 |
22 |
1 |
32 |
1 |
n2 |
1 |
2 |
1 |
2×3 |
1 |
3×4 |
1 |
n(n+1) |
=
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
n |
1 |
n+1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
1 |
n+1 |
2n2-n-1 |
4(n+1) |
故要证的不等式成立.
核心考点
试题【已知f(x)=ax-bx-2lnx,且f(e)=be-ae-2(e为自然对数的底数).(1)求a与b的关系;(2)若f(x)在其定义域内为增函数,求a的取值范围】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
a |
x |
(Ⅰ)讨论函数f(x)的单调性.
(Ⅱ)设a>-e10,且函数f(x)在[1,+∞)上的最小值为2,求a的值.
(I)当a=
1 |
2 |
(Ⅱ)当x≥1时,f(x)≥0,求a的取值范围.
A.[0,1] | B.[3,5] | C.[2,3] | D.[2,4] |
3 |
2 |
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