题目

题型：不详难度：来源：

已知f（x）=ax-x³（x∈R）在区间(0， 

2

2

]内是增函数．
（Ⅰ） 求a的取值范围；
（Ⅱ） 若f（x）的极小值为-2，求a的值．

答案

（Ⅰ）f"（x）=a-3x²，（1分）
依题意，当x∈(0， 

2

2

]时，f"（x）≥0，即a-3x²≥0成立，（3分）
∴a≥3×(

2

2

)2=

3

2

，故所求a的范围是[

3

2

，+∞)．（6分）
（Ⅱ）令f"（x）=0，即a-3x²=0，得x=±

a 3

．由（Ⅰ）知，a≥

3

2

．
当x＜

a 3

时，f"（x）＞0；当x＞

a 3

时，f"（x）＜0．
所以，当x=

a 3

时，f（x）取极大值．
当x＜-

a 3

时，f"（x）＜0； 当x＞-

a 3

时，f"（x）＞0．
所以，当x=-

a 3

时，f（x）取极小值．（10分）
于是，f(-

a 3

)=-2，即a(-

a 3

)-(-

a 3

)3=-2，解得a=3．   （12分）