（I）∵a＞0，b∈R，函数f(x)=

1

2

x2+alnx-(a+1)x+b，
∴f′(x)=x+

a

x

-(a+1)
=

x2-(a+1)x+a

x

=

(x-1)(x-a)

x

，x∈（0，+∞）
令f′（x）=0，得x=a，或x=a．
①当0＜a＜1时，f（x）的单调递增区间为（0，a），（1，+∞）；
②当a=1时，f（x）的单调递增区间是（0，+∞）；
③当a＞1时，f（x）的单调递增区间是（0，1），（a，+∞）．
（II）设切点为P（x₀，y₀），切线斜率为k，
则方程组

y0=k(x0-3) y0= 1 2 x02+2lnx0-3x0+b k=f′(x0)= (x0-1)(x0-2) x0

，
即关于x₀的方程

1

2

x02+2lnx0-3x0+b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

有三个不等实根，
整理，得b=

(x0-1)(x0-2)(x0-3)

x0

-(

1

2

x02+2lnx0-3x0)
=

1

2

x02-3x0-

6

x0

-2lnx0+11，
令h（x）=

1

2

x2-3x-

6

x

-2lnx+11，x∈(0，+∞)，
则h′（x）=x-3+

6

x2

-

2

x

，
h′（x）=0，解得x=

2

，或x=3．
当x变化时，h′（x）与h（x）的变化情况如下表：

x	（0， 2 ）	2	（ 2 ，3）	3	（3，+∞）
h′（x）	+	0	-	0	+
h（x）	↑	极大值	↓	极小值	↑
已知a，b是正实数，函数f（x）=- 1 3 x3+ax2+bx在x∈[-1，2]上单调递增，则a+b的取值范围为（　　） A．(0， 5 2 ] B．[ 5 2 ，+∞) C．（0，1） D．（1，+∞）
已知函数f（x）=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极值10，求实数a，b的值；并判断f（1）=10是极大值还是极小值．
已知函数f（x）= 1 3 x3- 1 2 （a+1）x2+ax，g（x）=f′（x）是函数f（x）的导函数，其中实数a是不等1的常数． （1）设a＞1，讨论函数f（x）在区间[0，a+1]内零点的个数； （2）求证：当-1＜a＜1时，g（x）＜ex在[0，+∞）内恒成立．
函数f（x）的导函数为f′（x）= 1-x x ，则f（x）的单调递增区间是（　　） A．（-∞，0） B．（1，+∞） C．（0，1） D．（-∞，0）∪（1，+∞）
设函数f（x）=ln x+1 2 + 1-x a(x+1) (a＞0)． （Ⅰ）若函数f（x）在[1，+∞）上为增函数，求实数a的取值范围； （Ⅱ）求证：当n∈N*且n≥2时， 1 2 + 1 3 + 1 4 +…+ 1 n ＜ln n．