题目
题型:杭州一模难度:来源:
(I)当r=-35时f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p、q的值;
(II)已知函数h(x)=f(x)-g(x)在x=1处取得极大值-13,在x=x1和x=x2(x1≠x2)处取得极小值h(x1)和h(x2),若h(x1)+h(x2)<kln3-10成立,求整数k的最小值.
答案
q |
x |
由题意得:
|
|
|
(Ⅱ)∵h(x)=f(x)-g(x)=2x3+px+r-15x2-qlnx,
∴h′(x)=6x2+p-30x-
q |
x |
由
|
|
|
∴h′(x)=6x2+p-30x-
p-24 |
x |
6x3-30x2+px-p+24 |
x |
6x3-6x2-24x2+px-p+24 |
x |
(x-1)(6x2-24x-24+p) |
x |
由题意知h(x)在x=x1和x=x2处取得极小值,则0<x1<1<x2,
设m(x)=6x2-24x+p-24,则
|
且
|
.h(x1)+h(x2)=2(x13+x23)+p(x1+x2)-2p-15(x12+x22)-(p-24)ln(x1x2)
=2(x1+x2)[(x1+x2)2-3x1x2]+4p-2p-15[(x1+x2)2-2x1x2]-(p-24)ln(x1x2)
=-112+6•x1x2+2p-(p-24)ln(x1x2)
=-112+6t+12t+48-6tlnt
=-64+18t-6tlnt. (6分)
设F(t)=-64+18t-6tlnt,
则F′(t)=18-(6lnt+6)=6(2-lnt)>0,
∴F(t)在(0,3)上是增函数,
∴h(x1)+h(x2)<F(3)=-10-18ln3.
则kln3-10≥-10-18ln3,从而k≥-18.
即:所求的k的最小值为-18.
核心考点
试题【已知函数f(x)=2x3+px+r,g(x)=15x2+qlnx(p,q,r∈R).(I)当r=-35时f(x)和g(x)在x=1处有共同的切线,求p、q的值;】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)讨论函数F(x)=f(x)-g(x)的单调性;
(2)是否存在这样的a的值,使得f(x)≥g(x)+2(x∈R*)恒成立,若不存在,请说明理由;若存在,求出所有这样的值.
mx |
x2+n |
(I)求f(x)的解析式;
(II)设函数g(x)=x2-2ax+a,若对于任意的x1∈R,总存在x2∈[-1,1],使得g(x2)≤f(x1),求实数a的取值范围.
A.
| B.2 | C.1 | D.0 |
lnx |
x |
(Ⅰ)当a=1时,求f(x)的单调性、极值;
(Ⅱ)求证:在(Ⅰ)的条件下,f(x)>g(x)+
1 |
2 |
(Ⅲ)是否存在a∈R,使f(x)的最小值是3,若存在求出a的值,若不存在,说明理由.
1 |
2 |
(1)求实数a的取值范围;
(2)在(1)的结论下,设g(x)=|ex-a|+
1 |
2 |
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