题目
题型:不详难度:来源:
已知函数的图象过点,且在点处的切线与直线垂直.
(1) 求实数的值;
(2) 求在 (为自然对数的底数)上的最大值;
(3) 对任意给定的正实数,曲线上是否存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上?
答案
由题意得:,即, ………3分
解得:。 ………4分
(2)由(1)知:
①当时,,
解得;解得或
∴在和上单减,在上单增,
由得:或, ………6分
∵ ,
∴在上的最大值为。 ………7分
②当时,,
当时,;当时,在单调递增;
∴在上的最大值为。 ……9分
∴当时,在上的最大值为;
当时,在上的最大值为。 …………10分
(3)假设曲线上存在两点满足题意,则只能在轴两侧,
不妨设,则,且。
∵是以为直角顶点的直角三角形
∴,即 (*) ……11分
是否存在等价于方程(*)是否有解。
①若,则,代入方程(*)得:,
即:,而此方程无实数解,从而, ………12分
∴,代入方程(*)得:,
即:, ………14分
设,则在恒成立,
∴在上单调递增,从而,则的值域为。
∴当时,方程有解,即方程(*)有解。
∴对任意给定的正实数,曲线上总存在两点,使得是以为直角顶点的直角三角形,且此三角形斜边中点在轴上。 ……16分
解析
核心考点
试题【(本小题满分16分)已知函数的图象过点,且在点处的切线与直线垂直.(1) 求实数的值;(2) 求在 (为自然对数的底数)上的最大值;(3) 对任意给定的正实数,】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知,函数.
(Ⅰ)若在处取得极值,求函数的单调区间;
(Ⅱ)求函数在区间上的最大值.(注:)
A. | B. | C. | D. |
已知函数,其中为常数。
(1)当时,>恒成立,求的取值范围;
(2)求的单调区间。
(1)、若函数在处的切线方程为,求的值;
(2)、若函数在为增函数,求的取值范围;
(3)、讨论方程解的个数,并说明理由。
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