题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知函数f(x)＝－x³＋x²＋ax＋b(a，b∈R)．
(1)若a＝3，试确定函数f(x)的单调区间；
(2)若函数f(x)在其图象上任意一点(x₀，f(x₀))处切线的斜率都小于2a²，求a的取值范围．

答案

．解：(1)f(x)＝－x³＋x²＋3x＋b.f′(x)＝－x²＋2x＋3，
令f′(x)>0，得－1<x<3，
令f′(x)<0得x<－1或x>3
故f(x)的单调增区间为(－1,3)，减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．…………6分
(2)∵f′(x)＝－x²＋2x＋a，由题意得
－x²＋2x＋a<2a²对任意x∈R成立．
即x²－2x>a－2a²对任意x∈R恒成立．
设g(x)＝x²－2x＝(x－1)²－1，∴g(x)_min＝－1，
∴－1>a－2a²，得a>1或a<－.                         …………………12分

解析

略