题目
题型:不详难度:来源:
(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;
(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),B(x2, f(x2))(x1<x2),记直线AB的斜率为k,证明:存在x0∈(x1,x2),使恒成立.
答案
解析
当时单调递减;当时单调递增,故当时,取最小值
于是对一切恒成立,当且仅当. ①
令则
当时,单调递增;当时,单调递减.
故当时,取最大值.因此,当且仅当时,①式成立.
综上所述,的取值集合为.
(Ⅱ)由题意知,令则
令,则.当时,单调递减;当时,单调递增.故当,即
从而,又
所以因为函数在区间上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在使即成立.
【点评】本题考查利用导函数研究函数单调性、最值、不等式恒成立问题等,考查运算能力,考查分类讨论思想、函数与方程思想等数学方法.第一问利用导函数法求出取最小值对一切x∈R,f(x) 1恒成立转化为从而得出求a的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,然后把问题归结为一个方程是否存在解的问题,通过构造函数,研究这个函数的性质进行分析判断.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-ax,其中a>0.(1)若对一切x∈R,f(x) 1恒成立,求a的取值集合;(2)在函数f(x)的图像上去定点A(x1, f(x1)),】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)用和表示;
(2)求对所有都有成立的的最小值;
(3)当时,比较与的大小,并说明理由。
A.m<2或m>4 | B.-4<m<-2 | C. | D.以上皆不正确 |
(A) (B) (C) (D)
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