题目
题型:不详难度:来源:
(I)求函数的导函数的最小值;
(II)当时,求函数的单调区间及极值;
(III)若对任意的,函数满足,求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:(I),其中.
因为,所以,又,所以,
当且仅当时取等号,其最小值为. 2……………………4分
(II)当时,,.…5分
的变化如下表:
0 | 0 | ||||
所以,函数的单调增区间是,;单调减区间是.……7分
函数在处取得极大值,在处取得极小值.……8分
(III)由题意,.
不妨设,则由得.
令,则函数在单调递增.10分
在恒成立.
即在恒成立.
因为,因此,只需.
解得. 故所求实数的取值范围为. …12分
点评:构造出函数,把证明转化为证明在单调递增是做本题的关键,运用了转化思想,对学生的能力要求较高,是一道中档题。
核心考点
试题【(本小题满分12分)已知函数,,,其中且.(I)求函数的导函数的最小值;(II)当时,求函数的单调区间及极值;(III)若对任意的,函数满足,求实数的取值范围.】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知,其中是自然对数的底数,
(1)讨论时,的单调性。
(2)求证:在(1)条件下,
(3)是否存在实数,使得最小值是3,如果存在,求出的值;如果不存在,说明理由。
已知函数.
(1)当时,求证:函数在上单调递增;
(2)若函数有三个零点,求的值;
(3)若存在,使得,试求的取值范围。
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