题目

题型：不详难度：来源：

设函数f(x)＝ln x＋x²－(a＋1)x(a>0，a为常数)．
(1)讨论f(x)的单调性；
(2)若a＝1，证明：当x>1时，f(x)< x²－－.

答案

(1) 在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减(2)见解析

解析

(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝＋ax－(a＋1)＝.
当0<a<1时，由f′(x)>0解得0<x<1或x>，由f′(x)<0解得1<x<，
所以函数f(x)在(0，1)，上单调递增，在上单调递减．
当a＝1时，f′(x)≥0对x>0恒成立，所以函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增．
当a>1时，由f′(x)>0解得x>1或0<x<，由f′(x)<0解得<x<1.
所以函数f(x)在，(1，＋∞)上单调递增，在上单调递减．
(2)证明：当a＝1时，原不等式等价于ln x－2x＋＋<0.
因为x>1，所以＝<，
因此ln x－2x＋＋<ln x－2x＋＋.
令g(x)＝ln x－2x＋＋，
则g′(x)＝.
令h(x)＝，当x>1时，h′(x)＝－x²－4x＋<0，
所以h(x)在(1，＋∞)上单调递减，从而h(x)<h(1)＝0，即g′(x)<0，
所以g(x)在(1，＋∞)上单调递减，则g(x)<g(1)＝0，
所以当x>1时，f(x)<x²－－.