题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝＋ln x.
(1)当a＝时，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)若函数g(x)＝f(x)－x在[1，e]上为增函数，求正实数a的取值范围．

答案

(1) 最大值是0，最小值是ln 2－1   (2)

解析

(1)当a＝时，f(x)＝＋ln x，
f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝2.
∴当x∈[1,2)时，f′(x)＜0，故f(x)在[1,2)上单调递减；
当x∈(2，e]时，f′(x)＞0，故f(x)在(2，e]上单调递增．
∴f(x)在区间[1，e]上有唯一的极小值点，
故f(x)_min＝f(x)_极小值＝f(2)＝ln 2－1.
又∵f(1)＝0，f(e)＝＜0.
∴f(x)在区间[1，e]上的最大值f(x)_max＝f(1)＝0.
综上可知，函数f(x)在[1，e]上的最大值是0，最小值是ln 2－1.
(2)∵g(x)＝f(x)－x＝＋ln x－x，
∴g′(x)＝ (a＞0)，
设φ(x)＝－ax²＋4ax－4，由题意知，只需φ(x)≥0在[1，e]上恒成立即可满足题意．
∵a＞0，函数φ(x)的图象的对称轴为x＝2，
∴只需φ(1)＝3a－4≥0，即a≥即可．
故正实数a的取值范围为.