题目
题型:不详难度:来源:
(1)当a=2时,求在区间[e,e2]上的最大值和最小值;
(2)如果函数、、在公共定义域D上,满足<<,那么就称为、的“伴随函数”.已知函数,,若在区间(1,+∞)上,函数是、的“伴随函数”,求a的取值范围。
答案
(2).
解析
试题分析:本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的最值、恒成立问题等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一问,对求导,判断函数的单调性,函数递增,则在区间2个端点处取得最大值和最小值;第二问,由新定义将题目转化为,在(1,+∞)上恒成立,对求导,对的根进行讨论,判断函数的单调性,求出最大值,令最大值小于0,同理,对求导,求最大值,需要注意如果最大值能够取到,则最大值小于0,若最大值取不到,则最大值小于等于0.
(1)当a=2时,,则
当x∈[e,e2]时,,即此时函数单调递增,
∴的最大值为f(e2)=4e4+lne2=2+4e4,最小值为f(e)=2e2+lne=1+2e2. 4分
(2)若在区间(1,+∞)上,函数是、的“伴随函数”,
即<<,令在(1,+∞)上恒成立,在(1,+∞)上恒成立,
因为
①若,由得
当,即时,在(x2,+∞)上,有,此时函数单调递增,并且在该区间上有,不合题意.
当x2<x1=1,即a≥1时,同理可知在区间(1,+∞)上,有,不合题意.
②若a≤,则有2a 1≤0,此时在区间(1,+∞)上,有p"(x)<0,此时函数p(x)单调递减,要使p(x)<0恒成立,只需要满足,即可
此时, 9分
又,则h(x)在(1,+∞)上为减函数,则h(x)<h(1)=,所以 11分
即a的取值范围是。 12分
核心考点
试题【已知函数()(1)当a=2时,求在区间[e,e2]上的最大值和最小值;(2)如果函数、、在公共定义域D上,满足<<,那么就称为、的“伴随函数”.已知】;主要考察你对函数的单调性与导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(1)试判断函数的单调性,并说明理由;
(2)若恒成立,求实数的取值范围.
(Ⅰ)若a=1,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(Ⅱ)若|a|>1,求f(x)在闭区间[0,|2a|]上的最小值.
A. | B. | C. | D. |
A. | B. |
C. | D. |
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