题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)＝ln x－．
(1)当a>0时，判断f(x)在定义域上的单调性；
(2)f(x)在[1，e]上的最小值为，求实数a的值；
(3)试求实数a的取值范围，使得在区间(1，＋∞)上函数y＝x²的图象恒在函数y＝f(x)图象的上方．

答案

（1）f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数
（2）a＝－    （3）a≥－1

解析

(1)f′(x)＝＋＝(x>0)，
当a>0时，f′(x)>0恒成立，
故f(x)在(0，＋∞)上是单调递增函数．
(2)由f′(x)＝0得x＝－a，
①当a≥－1时，f′(x)≥0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为增函数．
f(x)_min＝f(1)＝－a＝得a＝－(舍)．
②当a≤－e时，f′(x)≤0在[1，e]上恒成立，f(x)在[1，e]上为减函数．
则f(x)_min＝f(e)＝1－＝得a＝－(舍)．
③当－e<a<－1时，由f′(x)＝0得x₀＝－a．
当1<x<x₀时，f′(x)<0，f(x)在(1，x₀)上为减函数；
当x₀<x<e时，f′(x)>0，f(x)在(x₀，e)上为增函数．
∴f(x)_min＝f(－a)＝ln(－a)＋1＝，得a＝－．
综上知：a＝－．
(3)由题意得：x²>ln x－在(1，＋∞)上恒成立，
即a>xln x－x³在(1，＋∞)上恒成立．
设g(x)＝xln x－x³(x>1)，则
g′(x)＝ln x－3x²＋1．
令h(x)＝ln x－3x²＋1，则
h′(x)＝－6x．
当x>1时，h′(x)<0恒成立．
∴h(x)＝g′(x)＝ln x－3x²＋1在(1，＋∞)上为减函数，
则g′(x)<g′(1)＝－2<0．
所以g(x)在(1，＋∞)上为减函数，
∴g(x)<g(1)<－1，故a≥－1