题目

题型：福建省高考真题难度：来源：

已知函数f（x）=x³+ax²+bx，且f′（-1）=0。
（1）试用含a的代数式表示b，并求f（x）的单调区间；
（2）令a=-1，设函数f（x）在x₁，x₂（x₁＜x₂）处取得极值，记点M （x₁，f（x₁）），N（x₂，f（x₂）），P（m，f（m）），x₁＜m＜x₂，请仔细观察曲线f（x）在点P处的切线与线段MP的位置变化趋势，并解释以下问题：
（i）若对任意的t∈（x₁，x₂），线段MP与曲线f（x）均有异于M，P的公共点，试确定t的最小值，并证明你的结论；
（ii）若存在点Q（n，f（n）），x≤n＜m，使得线段PQ与曲线f（x）有异于P、Q的公共点，请直接写出m的取值范围（不必给出求解过程）。

答案

解：（1）依题意，得
由得
从而
故
令得或
①当a>1时，
当x变化时，与的变化情况如下表：

由此得，函数f（x）的单调增区间为和，单调减区间为。
②当时，，此时有恒成立，且仅在处，
故函数f（x）的单调增区间为R；
③当时，，同理可得，函数f（x）的单调增区间为和，
单调减区间为
综上：当时，函数f（x）的单调增区间为和，单调减区间为；
当时，函数f（x）的单调增区间为R；
当时，函数f（x）的单调增区间为和，单调减区间为。
（2）（i）由得
令得
由（1）得f（x）增区间为和，单调减区间为，
所以函数f（x）在处取得极值，
故M（），N（）。
观察的图象，有如下现象：
①当m从-1（不含-1）变化到3时，线段MP的斜率与曲线f（x）在点P处切线的斜率之差K_mp-的值由正连续变为负。
②线段MP与曲线是否有异于H，P的公共点与K_mp-的m正负有着密切的关联；
③K_mp-=0对应的位置可能是临界点，故推测：满足K_mp-的m就是所求的t最小值。
下面给出证明并确定的t最小值
曲线f（x）在点处的切线斜率

段MP的斜率K_mp
当K_mp-=0时，解得
直线MP的方程为
令
当时，在上只有一个零点，
可判断函数f（x）在上单调递增，在上单调递减，
又，
所以g（x）在上没有零点，
即线段MP与曲线f（x）没有异于M，P的公共点。
当时，，
所以存在使得
即当时，MP与曲线f（x）有异于M，P的公共点
综上，t的最小值为2。
（ii）类似（i）于中的观察，可得m的取值范围为。