记f（1）（x）=[f（x）]′，f（2）（x）=[f（1）（x）]′，…，f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′（n∈N+，n≥2）．若f（x）=xcosx - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

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记f^（1）（x）=[f（x）]′，f^（2）（x）=[f^（1）（x）]′，…，f^（n）（x）=[f^（n-1）（x）]′（n∈N₊，n≥2）．若f（x）=xcosx，则f（0）+f^（1）（0）+f^（2）+L+f^（2013）（0）的值为______．

答案

由f（x）=xcosx，得f^（1）（x）=cosx-xsinx，f^（2）（x）=-sinx-sinx-xcosx=-2sinx-xcosx，
f^（3）（x）=-2cosx-cosx+xsinx=-3cosx+xsinx，f^（4）（x）=3sinx+sinx+xcosx=4sinx+xcosx，f^（5）（x）=4cosx+cosx-xsinx=5cosx-xsinx，…，
则f（0）+f^（1）（0）+f^（2）+…+f^（2013）（0）=0+1+0-3+0+5+0-…+2013=（1-3）+（5-7）+…++2013=-2×503+2013=1007，
故答案为：1007．

核心考点

试题【记f（1）（x）=[f（x）]′，f（2）（x）=[f（1）（x）]′，…，f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′（n∈N+，n≥2）．若f（x）=xcosx】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

函数f（x）=tanx在点（

，1）处的切线斜率是 ______．

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函数y=x²+2x+1在x=1处的导数等于______．

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记函数f（x）的导数为f^（1）（x），f^（1）（x）的导数为f^（2）（x），…f^（n-1）（x）的导数为f^（n）（x）（n∈N^*）．若f（x）可进行n次求导，则f（x）均可近似表示为：f（x）≈f（0）+

f(1)(0)

1！

f(2)(0)

2！

x²+

f(3)(0)

3！

x³+…+

f(n)(0)

n！

xⁿ，其中n！=n（n-1）（n-2）（n-3）…3×2×1，若取n=3，根据这个结论，则可近似估计自然对数的底数e≈______（用分数表示）．

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已知可导函数f（x）的导函数为f′（x），且满足f（x）=3x²+2xf′（5），则f′（5）=______

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已知f₁（x）=sinx+cosx，记f2(x)=f1′(x)，f3(x)=f2′(x)，…，fn(x)=fn-1′(x)，(n∈N*，n≥2)，则f1(

)+f2(

)+…+f2012(

)=______．

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