题目
题型:长春模拟难度:来源:
(1)求函数f(x)的最小值;
(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;
(3)在(2)的条件下,证明:(
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答案
由f′(x)=ex-a=0得x=lna.
当x∈(-∞,lna)时,f′(x)<0;当x∈(lna,+∞)时,f′(x)>0.
∴f(x)在(-∞,lna)单调递减,在(lna,+∞)单调递增.
即f(x)在x=lna处取得极小值,且为最小值,其最小值为f(lna)=elna-alna-1=a-alna-1.(5分)
(2)f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,即在x∈R上,f(x)min≥0.
由(1),设g(a)=a-alna-1,所以g(a)≥0.
由g′(a)=1-lna-1=-lna=0得a=1.
∴g(a)在区间(0,1)上单调递增,在区间(1,+∞)上单调递减,
∴g(a)在a=1处取得最大值,而g(1)=0.
因此g(a)≥0的解为a=1,∴a=1.(9分)
(3)证明:由(2)知,对任意实数x均有ex-x-1≥0,即1+x≤ex.
令x=-
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∴(1-
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=
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1-e-1 |
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核心考点
试题【已知函数f(x)=ex-ax-1(a>0,e为自然对数的底数).(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)≥0对任意的x∈R恒成立,求实数a的值;(3)在(】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.3 | B.2 | C.1 | D.0 |
1 |
2 |
1 |
3 |
A.a<b<c | B.b<c<a | C.c<a<b | D.c<b<a |
π |
6 |
A.
| B.-
| C.
| D.
|
1 |
2012 |
2 |
2012 |
4022 |
2012 |
4023 |
2012 |
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3 |
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