题目
题型:不详难度:来源:
(I)求曲线在(1,f(1))处的切线方程;
(Ⅱ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;
(Ⅲ)证明:(x-1)f(x)≥0.
答案
x+1 |
x |
1 |
x |
所以f′(1)=1,所以切线方程y=x-1
(Ⅱ)xf′(x)≤x2+ax+1⇔1+xlnx≤x2+ax+1,
即:xlnx≤x2+ax,x>0,则有lnx≤x+a,
即要使a≥lnx-x成立.
令g(x)=lnx-x,那么g′(X)=
1 |
x |
可知当0<x<1时单调增,当x>1时单调减.
故g(x)=lnx-x 在x=1 处取最大值为gmax=-1,
那么要使得a≥lnx-x 成立,则有a≥-1.
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得:lnx-x≤-1,即lnx-x+1≤0
当0<x<1 时,f(x)=xlnx+lnx-x+1<0,
当x≥1时,f(x)=xlnx+lnx-x+1
=lnx+(xlnx-x+1)
=lnx+x(lnx+
1 |
x |
=lnx-x(ln
1 |
x |
1 |
x |
≥0.
∴f(x)=xlnx+lnx-x+1=lnx+(xlnx-x+1)≥0
综上所述,(x-1)f(x)≥0
核心考点
试题【已知函数f(x)=(x+1)lnx-x+1(I)求曲线在(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)若xf′(x)≤x2+ax+1,求a的取值范围;(Ⅲ)证明:(x-1】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.f′(x)=cosx-sinx | B.f′(x)=cosx+sinx |
C.f′(x)=-cosx+sinx | D.f′(x)=-cosx-sinx |
A.y=-
| B.y=2x+1 | ||
C.y=2x | D.y=2x+1或y=2x |
1 |
2 |
(Ⅰ)试用含a式子表示b;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)若a=2,试求f(x)在区间[c,c+
1 |
2 |
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