题目

题型：不详难度：来源：

已知f₁（x）=sinx+cosx，记f₂（x）=f′₁（x），f₃（x）=f′₂（x），…，f_n（x）=f′_n-1（x），（ n∈N^*，n≥2）．则f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）+…+f₂₀₁₀（

π

4

）=______．

答案

f₂（x）=f₁′（x）=cosx-sinx，
f₃（x）=（cosx-sinx）′=-sinx-cosx，
f₄（x）=-cosx+sinx，f₅（x）=sinx+cosx，
以此类推，可得出f_n（x）=f_n+4（x）
又∵f₁（x）+f₂（x）+f₃（x）+f₄（x）=0，
∴f₁（

π

4

）+f₂（

π

4

）++f₂₀₀₉（

π

4

）+f2010(

π

4

)=f₁（

π

4

）+f2(

π

4

)=

2

．