已知a＞0，n为正整数．（Ⅰ）设y=（x-a）n，证明y′=n（x-a）n-1；（Ⅱ）设fn（x）=xn-（x-a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）＞ - 高中数学试题 - 超级试练试题库

题目

题型：江苏难度：来源：

已知a＞0，n为正整数．
（Ⅰ）设y=（x-a）ⁿ，证明y′=n（x-a）^n-1；
（Ⅱ）设f_n（x）=xⁿ-（x-a）ⁿ，对任意n≥a，证明f_n+1′（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

答案

（I）证明：令x-a=t则y=tⁿ
∴y′=nt^n-1•t′
∵t′=1
∴y′=nt^n-1
（II）f_（n+1）（x）=xⁿ⁺¹-（x-a）ⁿ⁺¹
∴f′_n+1（x）=（n+1）xⁿ-（n+1）（x-a）ⁿ
∴f′_（n+1）（n+1）=（n+1）ⁿ⁺¹-（n+1）（n+1-a）n=（n+1）（n+1）ⁿ-（n+1）（n+1-a）ⁿ
而（n+1）f_n′（n）=（n+1）nⁿ-（n+1）n（n-a）^n-1∵（n+1）（n+1）ⁿ＞（n+1）nⁿ，
∴f′_（n+1）（n+1）＞（n+1）f_n′（n）．

核心考点

试题【已知a＞0，n为正整数．（Ⅰ）设y=（x-a）n，证明y′=n（x-a）n-1；（Ⅱ）设fn（x）=xn-（x-a）n，对任意n≥a，证明fn+1′（n+1）＞】；主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]

举一反三

已知函数f(x)=

ax3+(a+d)x2+(a+2d)x+d，g（x）=ax²+2（a+2d）x+a+4d，其中a＞0，d＞0，设x₀为f（x）的极小值点，x₁为g（x）的极值点，g（x₂）=g（x₃）=0，并且x₂＜x₃，将点（x₀，f（x₀）），（x₁，g（x₁），（x₂，0）（x₃，0）依次记为A，B，C，D．
（1）求x₀的值；
（2）若四边形APCD为梯形且面积为1，求a，d的值．

题型：辽宁难度：| 查看答案

已知抛物线C₁：y=x²+2x和C：y=-x²+a，如果直线l同时是C₁和C₂的切线，称l是C₁和C₂的公切线，公切线上两个切点之间的线段，称为公切线段．
（Ⅰ）a取什么值时，C₁和C₂有且仅有一条公切线？写出此公切线的方程；
（Ⅱ）若C₁和C₂有两条公切线，证明相应的两条公切线段互相平分．

题型：天津难度：| 查看答案

已知函数f（x）在R上满足f（x）=2•f（2-x）-x²+8x-8，则f′（2）=______．

题型：不详难度：| 查看答案

已知函数f（x）=（x+1）lnx-x+1．
（Ⅰ）若xf"（x）≤x²+ax+1，求a的取值范围；
（Ⅱ）证明：（x-1）f（x）≥0．

题型：不详难度：| 查看答案

已知m＜0，f(x)=mx3+

x，且f′（1）≥-12，则实数m=（　　）

A．2

B．-2

C．4

D．-4

题型：黄冈模拟难度：| 查看答案

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