题目

题型：不详难度：来源：

设函数f（x）=e^x-e^-x
（Ⅰ）证明：f（x）的导数f′（x）≥2；
（Ⅱ）若对所有x≥0都有f（x）≥ax，求a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f（x）的导数f"（x）=e^x+e^-x．
由于ex+e-x≥2

ex•e-x

=2，故f"（x）≥2．
（当且仅当x=0时，等号成立）．
（Ⅱ）令g（x）=f（x）-ax，则g"（x）=f"（x）-a=e^x+e^-x-a，
（ⅰ）若a≤2，当x＞0时，g"（x）=e^x+e^-x-a＞2-a≥0，
故g（x）在（0，+∞）上为增函数，
所以，x≥0时，g（x）≥g（0），即f（x）≥ax．
（ⅱ）若a＞2，方程g"（x）=0的正根为x1=ln

a+ a2-4

2

，
此时，若x∈（0，x₁），则g"（x）＜0，故g（x）在该区间为减函数．
所以，x∈（0，x₁）时，g（x）＜g（0）=0，即f（x）＜ax，与题设f（x）≥ax相矛盾．
综上，满足条件的a的取值范围是（-∞，2]．