题目

题型：不详难度：来源：

（本小题满分12分）
已知函数，其中。
（1）当满足什么条件时，取得极值?
（2）已知，且在区间上单调递增，试用表示出的取值范围。

答案

（1）
（2）当时，；当时，。

解析

（1）由已知得，令，得，
要取得极值，方程必须有解，
所以△，即，此时方程的根为
，，
所以。
当时，

x	(-∞,x1)	x 1	(x1,x2)	x2	(x2,+∞)
f’(x)	＋	0	－	0	＋
f (x)	增函数	极大值	减函数	极小值	增函数

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值；
当时，   

x	(-∞,x2)	x 2	(x2,x1)	x1	(x1,+∞)
f’(x)	－	0	＋	0	－
f (x)	减函数	极小值	增函数	极大值	减函数

所以在x ₁, x₂处分别取得极大值和极小值。
综上，当满足时，取得极值。
（2）要使在区间上单调递增，需使在上恒成立。
即恒成立，所以
设，，
令得或(舍去)，
当时，，当时，单调增函数；
当时,单调减函数，
所以当时，取得最大,最大值为。
所以
当时，，此时在区间恒成立，所以在区间上单调递增，当时最大，最大值为，所以
综上，当时，；当时，。