题目
题型:不详难度:来源:
且.
(Ⅰ)讨论在区间上的单调性;
(Ⅱ)求证:;
(Ⅲ)求证:.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)利用 的导函数找到原函数即可研究 的单调性, (Ⅱ)把证明不等式转化为证明不等式 ,然后通过求导研究函数的值域, (Ⅲ)难点①转化,②注意运用第(Ⅱ)问产生的新结论.导致③放缩后进行数列求和.
试题解析:(Ⅰ)由 且 得. 定义域为
令 ,得 或
当 时,由,得 ;由 ,得,或
在 上单调递减,在 和 上单调递增.
当 时, 由,得 ;由 ,得,
在 上单调递减,在上单调递增.
(Ⅱ)设 ,令 ,得, ,得,
在 上单调递减,在上单调递增.
在 处有极大值,即最大值0, 同理可证 , 即
(Ⅲ)由(2)知,
又
即当时取等号.
核心考点
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在
,使得. 试用这个结论证明:若函数
(其中),则对任意,都有;
(Ⅲ)已知正数满足,求证:对任意的实数,若时,都
有.
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