题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;
(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在
,使得. 试用这个结论证明:若函数
(其中),则对任意,都有;
(Ⅲ)已知正数满足,求证:对任意的实数,若时,都
有.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)利用导数法判断函数的单调性,根据函数在极值时有极值求出参数的值;(Ⅱ)构造新函数再利用导数法求解;(Ⅲ)由已知条件得出,再利用第(Ⅱ)问的结论对任意,都有求解.
试题解析:(Ⅰ)由题设,函数的定义域为,且
所以,得,此时.
当时,,函数在区间上单调递增;
当时,,函数在区间上单调递减.
函数在处取得极大值,故 4分
(Ⅱ)令,
则.
因为函数在区间上可导,则根据结论可知:存在
使得 7分
又,
当时,,从而单调递增,;
当时,,从而单调递减,;
故对任意,都有 . 9分
(Ⅲ),且,,
同理, 12分
由(Ⅱ)知对任意,都有,从而
. 14分
核心考点
试题【已知函数.(Ⅰ)当时,函数取得极大值,求实数的值;(Ⅱ)已知结论:若函数在区间内存在导数,则存在,使得. 试用这个结论证明:若函数(其中),则对任意,都有;(Ⅲ】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)若函数在上单调递减,求实数的取值范围;
(3)在函数的图象上是否存在不同的两点,使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足?若存在,求出;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)当a=1时,若曲线y=f(x)在点M (x0,f(x0))处的切线与曲线y=g(x)在点P (x0, g(x0))处的切线平行,求实数x0的值;
(II)若(0,e],都有f(x)≥g(x)+,求实数a的取值范围.
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