题目
题型:不详难度:来源:
(Ⅰ)讨论的单调性;
(Ⅱ)若,证明:当时,.
答案
解析
试题分析:(Ⅰ)求函数的导数,分类讨论二次函数的零点情况,确定导函数的正负取值区间,进一步确定原函数的单调性. (Ⅱ)先把原不等式等价转化为,由于我们只能运用求导的方法来研究这个函数的值域,而此函数由于求导后不能继续判断导函数的正负区间,故利用均值不等式进行放缩, 后,函数可以通过求导研究值域,且 恒成立是恒成立的充分条件,注意需要二次求导.
试题解析:(Ⅰ)的定义域为, ,
(1)当时,解得或;解得
所以函数在,上单调递增,在上单调递减;
(2)当时,对恒成立,所以函数在上单调递增;
(3)当时,解得或;解得
所以函数在,上单调递增,在上单调递减. ……(6分)
(Ⅱ)证明:不等式等价于
因为, 所以 ,
因此
令, 则
令得:当时,
所以在上单调递减,从而. 即,
在上单调递减,得:,
当时,.. ……(12分)
核心考点
举一反三
(Ⅰ)=2时,求的单调区间;
(Ⅱ)当时,,求的取值范围
A.a>b>c | B.a>c>b | C.c>b>a | D.b>a>c |
(I)若函数y=f(x)在区间[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围;
(II)若函数y=f(x)有两个极值点x1,x2且,求证:.
已知函数f(x)=ex+ax-1(e为自然对数的底数).
(Ⅰ)当a=1时,求过点(1,f(1))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积;
(II)若f(x)x2在(0,1 )上恒成立,求实数a的取值范围.
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