题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,讨论函数的单调性;
(2)当有两个极值点(设为和)时,求证:.
答案
解析
试题分析:(1)先求出函数的导函数,确定导数的符号,实质上就是确定分子的正负,从而确定函数在定义域上的单调性,即对分子的的符号进行分类讨论,从而确定的符号情况,进而确定函数在定义域上的单调性;(2)根据、与之间的关系,结合韦达定理得出以及的表达式,代入所证的不等式中,利用分析法将所要证的不等式转化为证明不等式,利用作差法,构造新函数,利用导数围绕来证明.
试题解析:(1),
,考虑分子
当,即时,在上,恒成立,此时在上单调递增;
当,即时,方程有两个解不相等的实数根:,,显然,
当或时,;当时,;
函数在上单调递减,
在和上单调递增.
(2)、是的两个极值点,故满足方程,
即、是的两个解,,
而在中,,
因此,要证明,
等价于证明,
注意到,只需证明,即证,
令,则,
当时,,函数在上单调递增;
当时,,函数在上单调递减;
因此,从而,即,原不等式得证.
核心考点
举一反三
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围;
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
(1)求的极值点;
(2)对任意的,记在上的最小值为,求的最小值.
(1)当时,求函数的单调减区间;
(2)设函数的导函数为,若存在唯一的实数,使得与同时成立,求实数的取值范围;
(3)已知点为曲线上的动点,在点处作曲线的切线与曲线交于另一点,在点处作曲线的切线,设切线的斜率分别为.问:是否存在常数,使得?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由.
(Ⅰ)当时,求函数的极小值;
(Ⅱ)若函数在上为增函数,求的取值范围.
(Ⅰ)若,求的值,并求此时曲线在点处的切线方程;
(Ⅱ)求函数在区间上的最小值.
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