题目
题型:不详难度:来源:
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)当时,若恒成立,求的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)此类题目考查利用导数研究函数的单调性,解法是:求函数的导数,令导数大于零,解得单调增区间(注意函数的定义域),令导数小于零,解得单调减区间(注意定义域);(2)先将不等式在恒成立问题转化为在恒成立问题,然后可用两种方法求出参数的范围,法一是:令,通过导数求出该函数的最小值,由这个最小值大于或等于0即可解出的取值范围(注意题中所给的);法二是:先分离参数得,再令,只须求出该函数的最小值,从而,同时结合题中所给的范围可得参数的取值范围.
试题解析:(1)函数的定义域为 1分
2分
当时,,为增函数
当时,,为减函数
当时,,为增函数
所以,函数单调增区间为,单调减区间为 5分
(2)因为,
所以
即
法一:令 7分
所以
因为在时是增函数 8分
所以 9分
又因为,所以, 10分
所以在为增函数
要使恒成立,只需 11分
所以 12分
法二:因为,所以
6
令 7分
8分
因为,所以 9分
因此时,,那么在上为增函数 10分
所以
所以 12分.
核心考点
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)求f(x)在区间[t,t+2](t>0)上的最小值;
(3)对一切的x∈(0,+∞),2f(x)<g′(x)+2恒成立,求实数a的取值范围.
(1)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线x-2y=0垂直,求实数a的值;
(2)讨论函数f(x)的单调性.
(1)当a≤0时,求f(x)的单调区间;
(2)若不等式g(x)< 有解,求实数m的取值范围.
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