题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数f(x)在[n,n+2](n>0)上的最小值;
(3)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,求实数t的取值范围.
答案
解析
又∵f′(x)=a(ln x+1),∴a(ln e+1)=2,a=1,
所以f(x)=xln x.
(2)由(1)知f′(x)=ln x+1,显然f′(x)=0时,x=e-1,当x∈时,f′(x)<0,所以函数f(x)在上单调递减,当x∈时f′(x)>0,所以函数f(x)在上单调递增,①当∈(n,n+2]时,f(x)min=f=-;
②当≤n<n+2时,函数f(x)在[n,n+2]上单调递增,因此f(x)min=f(n)=nln n;
所以f(x)min=
(3)对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,又g(x)=x2-tx-2,∴3x ln x≥x2-tx-2,
即t≥x-3ln x-.设h(x)=x-3ln x-,x∈(0,e],则h′(x)=1-+=,由h′(x)=0得x=1或2,∴x∈(0,1),h′(x)>0,h(x)单调递增,x∈(1,2),h′(x)<0,h(x)单调递减,x∈(2,e),h′(x)>0,h(x)单调递增,∴h(x)极大值=h(1)=-1,且h(e)=e-3-2e-1<-1,所以h(x)max=h(1)=-1.
因为对一切x∈(0,e],3f(x)≥g(x)恒成立,
∴t≥h(x)max=-1.故实数t的取值范围是[-1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=axln x图象上点(e,f(e))处的切线与直线y=2x平行,g(x)=x2-tx-2.(1)求函数f(x)的解析式;(2)求函数f(x)在】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数f(x)的单调区间;
(2)函数f(x)在区间[2,+∞)上是否存在最小值,若存在,求出最小值,若不存在,请说明理由.
(1)求k的值及F(x)的单调区间;
(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞),使得g(x2)<F(x1),求实数a的取值范围.
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2 (f′(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证:×…×< (n≥2,n∈N*)
(1)求函数的单调区间;
(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
(1)若k=,求证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>1;
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值范围;
(3)求证:<e4(n∈N*)..
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