题目
题型:不详难度:来源:
(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;
(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角为45°,对于任意的t∈[1,2],函数g(x)=x3+x2 (f′(x)是f(x)的导函数)在区间(t,3)上总不是单调函数,求m的取值范围;
(3)求证:×…×< (n≥2,n∈N*)
答案
解析
令f′(x)>0,得x∈(1,+∞);
令f′(x)<0,得x∈(0,1).
∴函数f(x)的单调增区间为(1,+∞),减区间为(0,1).
(2)解 ∵f′(x)= (x>0),∴f′(2)=-=1得a=-2,∴f(x)=-2ln x+2x-3,g(x)=x3+x2-2x,∴g′(x)=3x2+(m+4)x-2,∵g(x)在区间(t,3)上总不是单调函数,且g′(0)=-2,∴
由题意知:对于任意的t∈[1,2],g′t<0恒成立,
所以,∴-<m<-9.
故m的取值范围是.
(3)证明 由(1)知当x∈(1,+∞)时f(x)>f(1),即-ln x+x-1>0,∴0<ln x<x-1对一切x∈(1,+∞)成立.
∵n≥2,n∈N*,则有0<ln n<n-1,∴0<.
∴ (n≥2,n∈N*).
核心考点
试题【已知函数f(x)=aln x-ax-3(a∈R).(1)若a=-1,求函数f(x)的单调区间;(2)若函数y=f(x)的图象在点(2,f(2))处的切线的倾斜角】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求函数的单调区间;
(2)设h(x)=f′(x)+,若h(x)>k(k∈Z)恒成立,求k的最大值.
(1)若k=,求证:当x∈(0,+∞)时,f(x)>1;
(2)若f(x)在区间(0,+∞)上单调递增,试求k的取值范围;
(3)求证:<e4(n∈N*)..
(1)若f(x)在区间[0,1]上单调递减,求实数a的取值范围;
(2)当a=0时,是否存在实数m使不等式2f(x)+4xex≥mx+1≥-x2+4x+1对任意x∈R恒成立?若存在,求出m的值,若不存在,请说明理由.
(1)函数f(x)在点(0,f(0))的切线与直线2x+y-1=0平行,求a的值;
(2)当x∈[0,2]时,f(x)≥恒成立,求a的取值范围.
(1)求实数的值;
(2)函数的图像上存在两点A,B使得是以坐标原点O为直角顶点的直角三角形,且斜边AB的中点在轴上,求实数的取值范围;
(3)当时,讨论关于的方程的实根个数.
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