题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数f(x)的单调区间及最值;
(2)求证:对于任意正整数n,均有1+(e为自然对数的底数);
(3)当a=1时,是否存在过点(1,-1)的直线与函数y=f(x)的图象相切?若存在,有多少条?若不存在,请说明理由.
答案
解析
当a>0时,函数f(x)的定义域为(0,+∞),此时函数在(0,a)上是减函数,在(a,+∞)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无最大值.
当a<0时,函数f(x)的定义域为(-∞,0),此时函数在(-∞,a)上是减函数,在(a,0)上是增函数,f(x)min=f(a)=ln a2,无最大值.
(2)取a=1,由(1)知f(x)=ln x-≥f(1)=0,故≥1-ln x=ln,
取x=1,2,3,…,n,则1+.
(3)假设存在这样的切线,设其中一个切点为
T,∴切线方程为y+1=(x-1),将点T坐标代入得ln x0-+1=,即ln x0+--1=0,①
设g(x)=ln x+--1,则g′(x)=.
∵x>0,∴g(x)在区间(0,1),(2,+∞)上是增函数,在区间(1,2)上是减函数,
故g(x)极大值=g(1)=1>0,g(x)极小值=g(2)=ln 2+>0.
又g=ln+12-16-1=-ln 4-5<0.
注意到g(x)在其定义域上的单调性,知g(x)=0仅在内有且仅有一根,方程①有且仅有一解,故符合条件的切线仅有一条.
核心考点
试题【已知函数f(x)=ln ax- (a≠0).(1)求函数f(x)的单调区间及最值; (2)求证:对于任意正整数n,均有1+(e为自然对数的底数);(3)当a=1】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)求证:函数F(x)=f(x)-g(x)在(0,+∞)上单调递增;
(2)若函数y=-3有四个零点,求b的取值范围;
(3)若对于任意的x1,x2∈[-1,1]时,都有|F(x2)-F(x1)|≤e2-2恒成立,求a的取值范围.
A. | B. | C.1 | D.π |
(1)若关于x的方程f(x)=-x+b在区间[0,2]上恰有两个不同的实数根,求实数b的取值范围;
(2)证明:对任意的正整数n,不等式2+++…+ >ln(n+1)都成立.
(1)当a=-1时,求f(x)的最大值;
(2)当a=-1时,试推断方程|f(x)|=+是否有实数解,并说明理由.
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