题目
题型:不详难度:来源:
(1)若>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;
(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求的值;
(3)若f(x)<x2在(1,上恒成立,求a的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)首先确定函数的定义域是,再求导数=,依题设中的条件判断的符号,从而得到在定义域内的单调性;
(2)由于==,根据参数对导数的取值的影响,恰当地对其分类讨论,根据在上的单调性,求出含参数的最小值表达式,列方程求的值, 并注意检查其合理性;
(3)由于
令,则可将原问题转化为求函数的最大值问题,可借助导数进行探究.
试题解析:.解:(1)由题意f(x)的定义域为(0,+∞),且f"(x)=…(2分)
∵a>0,
∴f"(x)>0,
故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数 …(4分)
(2)由(1)可知,f′(x)=.
(1)若a≥﹣1,则x+a≥0,即f′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数,
∴[f(x)]m1n=f(1)=﹣a=,
∴a=﹣(舍去) …(5分)
(2)若a≤﹣e,则x+a≤0,即f′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数,
∴[f(x)]m1n=f(e)=1﹣(舍去)…(6分)
(3)若﹣e<a<﹣1,令f"(x)=0得x=﹣a,当1<x<﹣a时,f"(x)<0,
∴f(x)在(1,﹣a)上为减函数,f(x)在(﹣a,e)上为增函数,
∴[f(x)]m1n=f(﹣a)=ln(﹣a)+1=
∴[f(x)]m1n=f(﹣a)=ln(﹣a)+1=
∴a=﹣.…(8分)
(3)
又 9分
令
时,
在上是减函数 10分
即在上也是减函数,
所以,当时,在上恒成立
所以. 12分
核心考点
试题【已知函数;(1)若>0,试判断f(x)在定义域内的单调性;(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求的值;(3)若f(x)<x2在(1,上恒成立,求a的取值范】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D.不能确定 |
A. | B. | C.e | D. |
A.①② | B.③④ | C.①③ | D.①④ |
(1)函数的图像在点处的切线的倾斜角为,求的值;
(2)若存在使,求的取值范围.
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