题目
题型:不详难度:来源:
(1)求函数的极值;
(2)证明:对任意正数,存在正数,使不等式成立;
(3)设,且,证明:对任意正数都有:.
答案
解析
由得,,
∴,即,解得,-----------------3分
故当时,;当时,;
∴当时,取极大值,但没有极小值.-----------------4分
(2)∵,
又当时,令,则,
故,
因此原不等式化为,即, -----------------6分
令,则,
由得:,解得,
当时,;当时,.
故当时,取最小值,-----------------8分
令,则.
故,即.
因此,存在正数,使原不等式成立.-----------------10分
(3)对任意正数,存在实数使,,
则,,
原不等式,
-----------------14分
由(1)恒成立,
故,
取,
即得,
即,故所证不等式成立. -----------------14分
核心考点
举一反三
(1)若对内的一切实数,不等式恒成立,求实数的取值范围;
(2)当时,求最大的正整数,使得对(是自然对数的底数)内的任意个实数 都有成立;
(3)求证:.
(1)若,求的单调减区间;
(2)若对任意,且,都有,求实数的取值范围;
(3)在第(2)问求出的实数的范围内,若存在一个与有关的负数,使得对任意时恒成立,求的最小值及相应的值.
(I)若,是否存在a,bR,y=f(x)为偶函数.如果存在.请举例并证明你的结论,如果不存在,请说明理由;
〔II)若a=2,b=1.求函数在R上的单调区间;
(III )对于给定的实数成立.求a的取值范围.
(Ⅰ)当在区间上的最大值和最小值;
(Ⅱ)若在区间上,函数的图象恒在直线下方,求的取值范围.
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