题目
题型:不详难度:来源:
(1)试判断函数的单调性;
(2)设,求在上的最大值;
(3)试证明:对任意,不等式都成立(其中是自然对数的底数).
答案
(2)在上的最大值为;
(3) 证明过程详见试题解析.
解析
试题分析:(1)先对函数求导,令导函数为0,即可求得函数在上单调递增,在上单调递减. (2)结合函数的单调性,分时,时,三种情况进行讨论,即可求在上的最大值;(3) 把证明过程转化为恒成立问题即可.
试题解析:(1)解:(1)函数的定义域是.由已知.
令,得.
因为当时,;当时,.
所以函数在上单调递增,在上单调递减.
(2)由(1)可知当,即时,在上单调递增,所以.
当时,在上单调递减,所以.
当,即时,.
综上所述,
(3)由(1)知当时.所以在时恒有,即,当且仅当时等号成立.因此对任意恒有.因为,,所以,即.因此对任意,不等式.
核心考点
举一反三
(1)若方程内有两个不等的实根,求实数m的取值范围;(e为自然对数的底数)
(2)如果函数的图象与x轴交于两点、且.求证:(其中正常数).
(1)若在点处的切线方程为,求的解析式及单调递减区间;
(2)若在上存在极值点,求实数的取值范围.
.
(1)求实数的值;
(2)设.
①若是上的增函数,求实数的最大值;
②是否存在点,使得过点的直线若能与曲线围成两个封闭图形,则这两个封闭图形的面积总相等.若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
(1)若曲线y=f(x)过点P(1,-1),求曲线y=f(x)在点P处的切线方程;
(2)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值;
(3)若函数f(x)有两个不同的零点x1,x2,求证:x1x2>e2.
(1)求的极大值点;
(2)求的值;
(3)若,求在区间上的最小值.
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