题目
题型:不详难度:来源:
(1)已知区间是不等式的解集的子集,求的取值范围;
(2)已知函数,在函数图像上任取两点、,若存在使得恒成立,求的最大值.
答案
解析
试题分析:(1)将不等式在区间上恒成立等价转化为,然后利用导数
中对参数进行分类讨论,确定函数在区间上的单调性,从而确定函数在区间的最小值,从而求出参数的取值范围;(2)将不等式进行变形得到,构造函数,于是将问题转化在区间单调递增来处理,得到,即,围绕对的符号进行分类讨论,通过逐步构造函数对不等式进行求解,从而求出实数的取值范围.
(1)
①当时,,在区间上为增函数
由题意可知,即,;
②当时,,解得:,
,;,,
故有:当,即:时,即满足题意
即,构建函数,
,当时为极大值点,有,
故不等式无解;
当,即时,,即,
解得: ,;
当,即时,,即,
解得:,;
综上所述: ;
(2)由题意可知:,可设任意两数,
若存在使得成立,即: ,
构建函数:,为增函数即满足题意,即恒成立即可
,构建函数,,
当时,,为增函数
则不存在使得恒成立, 故不合题意;
当时,,可解得;
当时,可知,即为极小值点,也是最小值点,
,由于存在使得该式恒成立,
即, 由(1)可知当时,,
综上所述的最大值为.
核心考点
举一反三
(1)当时,求函数在区间内的最大值;
(2)当时,方程有唯一实数解,求正数的值.
(1)证明:;
(2)证明:.
(1)若,求的单调区间;
(2)若当时,,求a的取值范围。
(1)求证:曲线y=在点(1,)处的切线不过点(2,0);
(2)若在区间中存在,使得,求的取值范围;
(3)若,试证明:对任意,恒成立.
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