题目
题型:不详难度:来源:
(1)若,求证:函数在(1,+∞)上是增函数;
(2)当时,求函数在[1,e]上的最小值及相应的x值;
(3)若存在[l,e],使得成立,求实数的取值范围.
答案
解析
试题分析:(1)当时,,当,,因此要证在上是增函数,只需证明在上有,而这是显然成立的,故得证;(2)由(1)中的相关结论,可证当时,在上是增函数,在上的最小值即为;(3)可将不等式变形为,因此问题就等价于当时,需满足,利用导数求函数在上的单调性,可知在上为增函数,故,即的取值范围是.
(1)当时,,当,,
故函数在上是增函数 2分;
(2),当,,
当时,在上非负(仅当,时,),
故函数在上是增函数,此时.
∴当时,的最小值为1,相应的值为1. 5分;
(3)不等式,可化为.
∵, ∴且等号不能同时取,所以,即,
因而(),
令(),又,
当时,,,
从而(仅当x=1时取等号),所以在上为增函数,
故的最小值为,所以的取值范围是. 10分.
核心考点
试题【已知函数(1)若,求证:函数在(1,+∞)上是增函数;(2)当时,求函数在[1,e]上的最小值及相应的x值;(3)若存在[l,e],使得成立,求实数的取值范围.】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A. | B. | C. | D. |
(-1,f(-1))处的切线垂直于y轴.
(1)用a分别表示b和c;
(2)当bc取得最小值时,求函数g(x)= 的单调区间.
(1)讨论在其定义域上的单调性;
(2)当时,求取得最大值和最小值时的的值.
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