题目
题型:不详难度:来源:
(1)若,求的单调区间与极值;
(2)求证:在(1)的条件下,;
(3)是否存在实数a,使的最小值是?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.
答案
解析
试题分析:(1)将代入后对函数求导,可得,令,可解得函数的单调区间,从而判断出极值; (2) 构造函数,由知,故不等式成立;(3)假设存在实数a,使()有最小值-1,,对进行讨论,注意,当时,,无最小值;当时,,得;当时,,,得(舍去),存在实数,使得在上的最小值为-1.
解:(1)当a=1时,,, (1分)
令,得x=1.
当时,,此时单调递减; (2分)
当时,,此时单调递增. (3分)
所以的单调递减区间为(0,1),单调递增区间为(1,e),的极小值为 (4分)
(2)由(1)知在上的最小值为1.(5分)
令,,所以.(6分)
当时,,在上单调递增, (7分)
所以.
故在(1)的条件下,.(8分)
(3)假设存在实数a,使()有最小值-1.
因为, (9分)
①当时,,在上单调递增,此时无最小值; (10分)
②当时,当时,,故在(0,a)单调递减;当时,,故在(a,e)单调递增; (11分)
所以,得,满足条件; (12分)
③当时,因为,所以,故在上单调递减.
,得(舍去); (13分)
综上,存在实数,使得在上的最小值为-1.(14分)
核心考点
试题【已知, ,,其中e是无理数且e="2.71828" ,.(1)若,求的单调区间与极值;(2)求证:在(1)的条件下,;(3)是否存在实数a,使的最小值是?若存在】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
为使所用材料最省,底宽应为多少米?
(是自然对数的底数).
(1)求实数的值;
(2)求函数的单调区间;
(3)当时,是否同时存在实数和(),使得对每一个,直线与曲线都有公共点?若存在,求出最小的实数和最大的实数;若不存在,说明理由.
(1)求f(x);
(2)求f(x)的最大值;
(3)x>0,y>0,证明:lnx+lny≤.
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