题目
题型:不详难度:来源:
⑴若a=2,b=1,求函数f(x)的极值;
⑵设g(x)=a(x-1)ex-f(x).
①当a=1时,对任意x (0,+∞),都有g(x)≥1成立,求b的最大值;
②设g′(x)为g(x)的导函数.若存在x>1,使g(x)+g′(x)=0成立,求的取值范围.
答案
解析
试题分析: ⑴由 a=2,b=1得,f (x)=(2+)ex, 定义域为(-∞,0)∪(0,+∞);从而可求得 f ′(x)=ex, 令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=,列表可求得f (x)的极值.
⑵①当a=1时,g (x)=(x--2)ex,由已知得不等式g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,即b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立,从而b≤(x2-2x-)min x∈(0,+∞),令h(x)=x2-2x-(x>0)利用函数导数求出h(x)的最小值即可.
②由于g (x)=(ax--2a)ex,所以g ′(x)=(+ax--a)ex; 由g (x)+g ′(x)=0,得(ax--2a)ex+(+ax--a)ex=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.
存在x>1,使g (x)+g ′(x)=0成立,等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立.
注意到a>0,所以=(x>1);设u(x)=(x>1),则问题等价于的最小值(或下确界),利用函数导数可判断u(x)在上的单调性可求得从而可得的取值范围为(-1,+∞).
试题解析:⑴当a=2,b=1时,f (x)=(2+)ex,定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).
所以f ′(x)=ex.令f ′(x)=0,得x1=-1,x2=,列表
x | (-∞,-1) | -1 | (-1,0) | (0,) | (,+∞) | |
f ′(x) | - | - | ||||
f (x) | ↗ | 极大值 | ↘ | ↘ | 极小值 | ↗ |
由表知f (x)的极大值是f (-1)=e-1,f (x)的极小值是f ()=4.
⑵① 因为g (x)=(ax-a)ex-f (x)=(ax--2a)ex,当a=1时,g (x)=(x--2)ex.
因为g (x)≥1在x∈(0,+∞)上恒成立,所以b≤x2-2x-在x∈(0,+∞)上恒成立.
记h(x)=x2-2x-(x>0),则h′(x)=.
当0<x<1时,h′(x)<0,h(x)在(0,1)上是减函数;
当x>1时,h′(x)>0,h(x)在(1,+∞)上是增函数.
所以h(x)min=h(1)=-1-e-1.所以b的最大值为-1-e-1.
②因为g (x)=(ax--2a)ex,所以g ′(x)=(+ax--a)ex.
由g (x)+g ′(x)=0,得(ax--2a)ex+(+ax--a)ex=0,整理得2ax3-3ax2-2bx+b=0.
存在x>1,使g (x)+g ′(x)=0成立,等价于存在x>1,2ax3-3ax2-2bx+b=0成立.
因为a>0,所以=.设u(x)=(x>1),则u′(x)=.
因为x>1,u′(x)>0恒成立,所以u(x)在(1,+∞)是增函数,所以u(x)>u(1)=-1,
所以>-1,即的取值范围为(-1,+∞).
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex,a,bR,且a>0.⑴若a=2,b=1,求函数f(x)的极值;⑵设g(x)=a(x-1)ex-f(x).①当a=1时,对任意x (0,+】;主要考察你对常见函数的导数等知识点的理解。[详细]
举一反三
A.[1,+∞) | B.(0,+∞) | C.[0,+∞) | D.(1,+∞) |
(1)若是函数的极值点,求曲线在点处的切线方程;
(2)若函数在上为单调增函数,求的取值范围.
A. | B. | C. | D. |
A.25 | B.17 | C. | D.1 |
A. B. C. D.
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