题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（1）已知函数f（x）是R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）=x²-2x-3，求f（x）的解析式．
（2）已知奇函数f（x）的定义域为[-3，3]，且在区间[-3，0]内递增，求满足f（2m-1）+f（m²-2）＜0的实数m的取值范围．

答案

（1）当x＜0时，-x＞0，f（-x）=（-x）²-2（-x）-3=x²+2x-3，
又f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x）=-（x²+2x-3）=-x²-2x+3，
而f（-0）=-f（0），即f（0）=0，
所以f（x）=

x2-2x-3，x＞0 0，x=0 -x2-2x+3，x＜0

．
（2）因为f（x）为奇函数，且在[-3，0]内递增，所以在[0，3]内也递增，
所以f（x）在定义域[-3，3]内递增，
f（2m-1）+f（m²-2）＜0，可化为f（m²-2）＜-f（2m-1），
由f（x）为奇函数，得f（m²-2）＜f（1-2m），
又f（x）在定义域[-3，3]内递增，
所以

m2-2＜1-2m -3≤m2-2≤3 -3≤2m-1≤3

，解得-1≤m＜1．
故满足f（2m-1）+f（m²-2）＜0的实数m的取值范围为：[-1，1）．