题目
题型:模拟题难度:来源:
(1)若曲线y= f(x)在x=1处的切线也是抛物线y2=4(x-1)的切线,求a的值;
(2)若对于任意x∈R,f(x)>0恒成立,试确定实数a的取值范围;
(3)当a=-1时,是否存在x0∈(0,+∞),使曲线C:y= g(x)- f(x)在点x=x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等?若存在,求符合条件的x0的个数;若不存在,请说明理由。
答案
所以在x=1处的切线为y-(e+a)=(e+a)(x-1),
即y=(e+a)x,
与y2=4(x-1)联立,
消去y得(e+a)2x2-4x+4=0,
由Δ=0知,a=1-e或a=-1-e。
(2)f"(x)=ex+a
①当a>0时,f"(x)>0,f(x)在R上单调递增,且当x→-∞时,ex→0,ax→-∞
∴f(x)→-∞,故f(x)>0不恒成立,所以a>0不合题意;
②当a=0时,f(x)=ex>0对x∈R恒成立,所以a=0符合题意;
③当a<0时,令f"(x)=e2+a=0,得x=ln(-a),
当x∈(-∞,ln(-a))时,f"(x)<0,
当x∈(ln(-a),+∞)时,f"(x)>0,
故f(x)在(-∞,ln(-a))上单调递减,
在(ln(-a),+∞)上单调递增
所以[f(x)]min= f(ln(-a))=-a+aln(-a)>0,
∴a>-e
又a<0,
∴a∈(-e,0)
综上,实数a的取值范围为(-e,0]。
(3)当a=-1时,由(2)知[f(x)] min= f(ln(-a))=-a+aln(-a)=1
设h(x)=g(x)- f(x)=exlnx-ex+x
则h"(x)=
假设存在实数x0∈(0,+∞),使曲线C:y=g(x)-f(x)在点x=x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等,
x0即为方程h"(x)=1的解
令h"(x)=1得:
在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴φ(x)≥φ(1)=0,故方程有唯一解为1
所以存在符合条件的x0,且仅有一个。
核心考点
试题【已知函数f(x)=ex+ax,g(x)=exlnx(e 是自然对数的底数)。(1)若曲线y= f(x)在x=1处的切线也是抛物线y2=4(x-1)的切线,求a的】;主要考察你对导数的意义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(1)当曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线l:y=-2x+1平行时,求a的值;
(2)求函数f(x)的单调区间。
(1)若p=2,求曲线f(x)在点(1,f(1))处的切线;
(2)若函数f(x)在其定义域内为增函数,求正实数p的取值范围;
(3)设函数,若在[1,e]上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范围。
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