题目

题型：辽宁省高考真题难度：来源：

f（x）=e^x（ax²+x+1），且曲线y=f（x）在x=1处的切线与x轴平行。
（1）求a的值，并讨论f（x）的单调性；
（2）证明：当时，|f（cosθ）-f（sinθ）|＜2。

答案

解：（1）
由条件知
故
于是
故当时，＜0；
当时，＞0
从而f（x）在，单调减少，在单调增加。
（2）由（1）知在单调增加，故f（x）在的最大值为，
最小值为
从而对任意，，
有
而当时，
从而。