题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=ax³+bx²-3x在x=±1处取得极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，求实数m的取值范围．

答案

（1）f"（x）=3ax²+2bx-3，依题意，f"（1）=f"（-1）=0，
即

3a+2b-3=0 3a-2b-3=0

，解得a=1，b=0．
∴f（x）=x³-3x．（4分）
（2）f"（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1），
∵曲线方程为y=x³-3x，
∴点A（1，m）不在曲线上．
设切点为M（x₀，y₀），则点M的坐标满足y₀=x₀³-3x₀．
∵f"（x₀）=3（x₀²-1），
∴切线的斜率为3(

x

20

-1)=

x 30 -3x0-m

x0-1

，
整理得2x₀³-3x₀²+m+3=0．（8分）
∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根．
设g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3，
则g"（x₀）=6x₀²-6x₀，
由g"（x₀）=0，得x₀=0或x₀=1．（12分）
∴函数g（x₀）=2x₀³-3x₀²+m+3的极值点为x₀=0，x₀=1．
∴关于x₀方程2x₀³-3x₀²+m+3=0有三个实根的充要条件是g（1）g（0）＜0，
即（m+3）（m+2）＜0，解得-3＜m＜-2．
故所求的实数a的取值范围是-3＜m＜-2．