题目

题型：湖南难度：来源：

已知函数f(x)=ax3-3x2+1-

3

a

．
（I）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）上两点A、B处的切线都与y轴垂直，且线段AB与x轴有公共点，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）由题设知a≠0，f′(x)=3ax2-6x=3ax(x-

2

a

)．
令f′(x)=0得x1=0，x2=

2

a

．
当（i）a＞0时，
若x∈（-∞，0），则f"（x）＞0，
所以f（x）在区间(-∞，

2

a

)上是增函数；
若x∈(0，

2

a

)，则f"（x）＜0，
所以f（x）在区间(0，

2

a

)上是减函数；
若x∈(

2

a

，+∞)，则f"（x）＞0，
所以f（x）在区间(

2

a

，+∞)上是增函数；
（ii）当a＜0时，
若x∈(-∞，

2

a

)，则f"（x）＜0，
所以f（x）在区间(-∞，

2

a

)上是减函数；
若x∈(0，

2

a

)，则f"（x）＜0，
所以f（x）在区间(0，

2

a

)上是减函数；
若x∈(

2

a

，0)，则f"（x）＞0，
所以f（x）在区间(

2

a

，0)上是增函数；
若x∈（0，+∞），则f"（x）＜0，
所以f（x）在区间（0，+∞）上是减函数．
（Ⅱ）由（Ⅰ）的讨论及题设知，曲线y=f（x）上的两点A、B的纵坐标为函数的极值，
且函数y=f（x）在x=0，x=

2

a

处分别是取得极值f(0)=1-

3

a

，f(

2

a

)=-

4

a2

-

3

a

+1．
因为线段AB与x轴有公共点，所以f(0)•f(

2

a

)≤0．
即(-

4

a2

-

3

a

+1)(1-

3

a

)≤0．
所以

(a+1)(a-3)(a-4)

a2

≤0．
故（a+1）（a-3）（a-4）≤0，且a≠0．
解得-1≤a＜0或3≤a≤4．
即所求实数a的取值范围是[-1，0）∪[3，4]．