题目

题型：不详难度：来源：

理科（本小题14分）已知函数，当时，函数取得极大值.
（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

答案

（Ⅰ）.
（Ⅱ）
当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，；（Ⅲ）用数学归纳法证明.

解析

试题分析：（Ⅰ）. 由，得，此时.
当时，，函数在区间上单调递增；
当时，，函数在区间上单调递减.
函数在处取得极大值，故.   3分
（Ⅱ）令，  4分
则.函数在上可导，存在，使得.
又
当时，，单调递增，；
当时，，单调递减，；
故对任意，都有.   8分
（Ⅲ）用数学归纳法证明.
①当时，，且，，
，由（Ⅱ）得，即
，
当时，结论成立.   9分
②假设当时结论成立，即当时，
. 当时，设正数满足令，
 
则，且.


13分
当时，结论也成立.
综上由①②，对任意，，结论恒成立.   14分
点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，是导数的应用中的基本问题。本题（III）应用数学归纳法证明不等式，难度较大。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。