题目
题型:福建难度:来源:
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;
(Ⅱ)设过点F的直线l交椭圆于A、B两点.若直线l绕点F任意转动,值有|OA|2+|OB|2<|AB|2,求a的取值范围.
答案
(Ⅰ)设M,N为短轴的两个三等分点,
因为△MNF为正三角形,所以|OF|=
| ||
2 |
即1=
| ||
2 |
2b |
3 |
3 |
x2 |
4 |
y2 |
3 |
(Ⅱ)设A(x1,y1),B(x2,y2).
(ⅰ)当直线AB与x轴重合时,
|OA|2+|OB|2=2a2,|AB|2=4a2(a2>1),
因此,恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2.
(ⅱ)当直线AB不与x轴重合时,
设直线AB的方程为:x=my+1,代入
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
整理得(a2+b2m2)y2+2b2my+b2-a2b2=0,
所以y1+y2=
2b2m |
a2+b2m2 |
b2-a2b2 |
a2+b2m2 |
因为恒有|OA|2+|OB|2<|AB|2,所以∠AOB恒为钝角.
即
OA |
OB |
x1x2+y1y2=(my1+1)(my2+1)+y1y2=(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1
=
(m2+1)(b2-a2b2) |
a2+b2m2 |
2b2m2 |
a2+b2m2 |
=
-m2a2b2+b2-a2b2+a2 |
a2+b2m2 |
又a2+b2m2>0,所以-m2a2b2+b2-a2b2+a2<0对m∈R恒成立,
即a2b2m2>a2-a2b2+b2对m∈R恒成立.
当m∈R时,a2b2m2最小值为0,所以a2-a2b2+b2<0.
a2<a2b2-b2,a2<(a2-1)b2=b4,
因为a>0,b>0,所以a<b2,即a2-a-1>0,
解得a>
1+
| ||
2 |
1-
| ||
2 |
1+
| ||
2 |
综合(i)(ii),a的取值范围为(
1+
| ||
2 |
核心考点
试题【如图,椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点是F(1,0),O为坐标原点.(Ⅰ)已知椭圆短轴的两个三等分点与一个焦点构成正三角形,求椭圆的方程;(Ⅱ】;主要考察你对一元二次不等式及其解法等知识点的理解。[详细]
举一反三
π |
2 |
A.(-∞,1] | B.[1,+∞) | C.(
| D.(
|
a(x-1) |
x-2 |
|
|
x-2 |
x+1 |
A.(-∞,-1)∪(-1,2) | B.[-1,2] | C.(-∞,-1)∪[2,+∞) | D.(-1,2] |
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