题目

题型：宁波模拟难度：来源：

（1）已知|a|＜1，|b|＜1，求证：|

1-ab

a-b

|＞1；
（2）求实数λ的取值范围，使不等式|

1-abλ

aλ-b

|＞1对满足|a|＜1，|b|＜1的一切实数a、b恒成立；
（3）已知|a|＜1，若|

a+b

1+ab

|＜1，求b的取值范围．

答案

（1）证明：|1-ab|²-|a-b|²=1+a²b²-a²-b²=（a²-1）（b²-1）．
∵|a|＜1，|b|＜1，
∴a²-1＜0，b²-1＜0．
∴|1-ab|²-|a-b|²＞0．
∴|1-ab|＞|a-b|，

|1-ab|

|a-b|

=

|1-a•b|

|a-b|

＞1．

（2）∵|

1-abλ

aλ-b

|＞1⇔|1-abλ|²-|aλ-b|²=（a²λ²-1）（b²-1）＞0．
∵b²＜1，
∴a²λ²-1＜0对于任意满足|a|＜1的a恒成立．
当a=0时，a²λ²-1＜0成立；
当a≠0时，要使λ²＜

1

a2

对于任意满足|a|＜1的a恒成立，而

1

a2

＞1，
∴|λ|≤1．故-1≤λ≤1．
（3）|

a+b

1+ab

|＜1⇔（

a+b

1+ab

）²＜1⇔（a+b）²＜（1+ab）²⇔a²+b²-1-a²b²＜0⇔（a²-1）（b²-1）＜0．
∵|a|＜1，
∴a²＜1．
∴1-b²＞0，
即-1＜b＜1．