题目

题型：北京会考题难度：来源：

在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=-a_n+2（n=1，2，3，…）。
（Ⅰ）求a₂，a₃；
（Ⅱ）证明：1≤a_n＜2；
（Ⅲ）试用a_n+1表示，并证明你的结论。

答案

解：（Ⅰ）因为a₁=1，a_n+1=，
所以
；
 （Ⅱ）证明：当n≥2时，

所以a_n>1，
因为a_n-2=


…
<0，
所以a_n<2，
因为a₁=1，
所以1≤a_n<2；
（Ⅲ），证明如下：
由a_n+1=，
得a_n+1-2=
所以
从而，
所以


所以。