题目

题型：湖南省模拟题难度：来源：

一个数列中的数均为奇数时，称之为“奇数数列”． 我们给定以下法则来构造一个奇数数列{a_n}，对于任意正整数n，当n为奇数时，a_n=n；当n为偶数时，a_n=．
（1）试写出该数列的前6项；
（2）研究发现，该数列中的每一个奇数都会重复出现，那么第10个5是该数列的第几项？
（3）求该数列的前2ⁿ项的和T_n．

答案

解：（1）根据题意可知
由此得：该数列的前6 项分别为1，1，3，1，5，3．
（2）这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3…
仔细观察发现a₅=5，a₁₀=5，a₂₀=5，a₄₀=5…
即项的值为5时，下角码是首项为5，公比为2的等比数列．
所以第10个5是该数列的第5×2^10﹣1=2560项．
第10个5是该数列的第2560项．
（3）由题意可得 T_n =[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+（a₁+a₂+a₃+…+）
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+[1+3+5+7+…+（﹣1）]+（a₂ +a₄ +a₆+…+） …
=[1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2^n﹣1﹣1）]+[1+3+5+7+…+（2^n﹣2﹣1）]+…+[1+3]+[2﹣1]+1．
由于1+3+5+7+…+（2ⁿ﹣1）==（2 ^n﹣1）²=4 ^n﹣1，
T_n =4^n﹣1+4^n﹣2+4^n﹣3+…+4¹+4⁰+1=+1=．